МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО ПРОГРАММЕ

ПРИКЛАДНОГО КУРСА

 «МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЭКОНОМИКЕ»

10 КЛАСС

Составитель:  Лавецкая Е.И., учитель математики сш 17

Введение

Математика   - наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.

Понимание самостоятельного положения математики как особой науки стало возможным после накопления достаточно большого фактического материала и возникло впервые в Древней Греции в 6-5 вв. до нашей эры. Это было началом периода элементарной математики. В течении этого периода математические исследования имеют дело лишь с достаточно ограниченным запасом основных понятий, возникших в связи с самыми простыми запасами хозяйственной жизни.

   В 17в. запасы естествознания и техники привели к созданию методов, позволяющих математически изучать движение, процессы изменения величин, преобразование геометрических фигур. С употребления переменных величин в аналитической геометрии и создания дифференциального и интегрального исчисления начинается период математики переменных величин. Изучение функции приводит к основным понятиям математического анализа: пределу, производной, дифференциалу,  интегралу. Создание аналитической геометрии позволило существенно расширить предмет изучения геометрии благодаря найденному универсальному способу перевода вопросов геометрии на язык алгебры и анализа – методу координат Р. Декарта. С другой стороны, открылась  возможность геометрической интерпретации алгебраических и аналитических фактов.

  Дальнейшее развитие математики привело в начале 19 в. к постановке задачи изучения возможных типов количественных отношений и пространственных форм с достаточно общей точки зрения. Связь математики и естествознания, оставаясь по существу не менее тесной, приобретает теперь все более сложные формы. Новые теории возникают не только в результате запросов естествознания и техники, но также и в следствие внутренней потребности самой математики. Потребности развития самой математики, «математизация» различных областей науки, проникновение математических методов во многие сферы практической деятельности, прогресс вычислительной техники привели к появлению ряда новых математических дисциплин, например, исследование операций, теория игр, математическая экономика и др.

 В математике изучаются математические модели. Это могут быть как непосредственно математические модели реальных явлений, так и объекты (структуры) для изучения этих моделей. Одна и также математическая модель может описывать свойства далеких друг от друга по своему конкретному содержанию реальных явлений. Так, одно и то же дифференциальное уравнение может описывать процессы роста населения и распада радиоактивного вещества. Для математики важна не природа рассматриваемых объектов, а существующие между ними отношения.

 Математика играет важную роль в естественно-научных, инженерно-технических и гуманитарных исследованиях. Она стала для многих отраслей знаний не только орудием количественного расчета, но также методом точного исследования и средством предельно четкой формулировки понятий и проблем. Без современной математики с ее развитым логическим и вычислительным аппаратом был бы невозможен прогресс в различных областях человеческой деятельности.

   Математика является не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры. Поэтому математическое образование следует рассматривать как важнейшую составляющую в системе фундаментальной подготовки современного экономиста.

1. Линейная и векторная алгебра

1.1 Основные сведения о матрицах

 Понятие матрицы и основанный на нем раздел математики - матричная алгебра – имеют чрезвычайно важное значение для экономистов. Объясняется это тем, что значительная часть математических моделей экономических объектов и процессов записывается в достаточно простой, а главное – компактной матричной форме.

    Матрицей  размера  m*n  называется  прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк  и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

   Например, матрица

1.2 ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ

1. Умножение матрицы на число.
2. Сложение матриц.
3. Вычитание матриц.

1-3 операции аналогичны операциям над векторами.

     4. Умножение матриц.

Вычислить произведение матриц   А*В, где

;           

Р е ш е н и е.    1.  Найдем размер матрицы-произведения (если умножение матриц возможно):

   2.  Вычислим элементы матрицы-произведения С, умножая элементы  каждой строки  матрицы А на соответствующие элементы столбцов матрицы В следующим образом:

       Получается 

 С помощью матриц удобно записывать некоторые экономические зависимости.  Например, таблица распределения ресурсов по отдельным отраслям экономики (усл. ед..)

Ресурсы	Отрасли экономики
	промышленность	Сельское хозяйство
Электроэнергия Трудовые ресурсы Водные ресурсы	5,3           2,8           4,8	4,1             2,1             5,1

может быть записана в компактной форме в виде матрицы расположения ресурсов по отраслям:

Задача.        Предприятие выпускает продукцию трех видов: Р_1,  Р_{2 ,} Р₃  и  использует  сырье двух типов: S₁ и S₂.  Нормы  расхода сырья характеризуются матрицей   ,

где каждый  элемент  а _ij   ( i= 1, 2, 3;  j= 1,2) показывает, сколько единиц  сырья j-го типа расходуется на производство единицы продукции  i-го вида. План выпуска продукции задан матрицей-строкой  С = (100  80   130),    стоимость единицы каждого типа сырья (ден. ед.) – матрицей–столбцом

Определить затраты сырья, необходимые для планового выпуска продукции, и общую стоимость сырья.

   Р е ш е н и е.  Затраты 1-го сырья составляют S₁=2*100+5*80+1*130=730ед. и 2-го- S₂=3*100+2*80+4*140=980 ед.. Тогда общая стоимость сырья Q=730*30+980*50=70900 ден.ед..

1.2 ^* ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Рассматриваются сведения о векторах, известные из основного школьного курса геометрии.

1.Определение вектора. Координаты вектора.

2. Понятие длины вектора.

3.Операции над векторами.

4.Скалярное произведение векторов.

1.3 Решение систем линейных уравнений

Решение систем уравнений по формуле Крамера.

          Рассмотрим систему уравнений  с двумя переменными:

в которой хотя бы один из коэффициентов при переменных отличен от нуля.

Для решения этой системы исключим переменную х₂, умножив первое уравнение на а₂₂, второе  - на (-а₁₂) и сложив их. Затем исключив переменную х₁, умножив первое на (-а₂₁), второе – на а₁₁ и также сложив их. В результате получим систему:

(а₁₁ а₂₂ – а₂₁а₁₂)х₁ =в₁а₂₂ – в₂а₁₂;

          ( а₁₁а₂₂ – а₂₁а₁₂)х₂ =  а₁₁в₂  - а₂₁в₂.     (*)

Выражение в скобках есть определитель системы

Обозначив 

,  ,

система (*) примет вид:

, отсюда следует  .

Пример: Решить систему уравнений

а) методом обратной матрицы; б) по формулам Крамера.

Решение. А) Обозначим

.

Тогда  в матричной форме данная система имеет вид: AX=B. Найдем определитель . Так как , то матрица А – невырожденная, и существует обратная матрица  находим по алгоритму.

Получим  . Теперь по формуле 

   т.е. решение системы (4;2;1)

б) Найдем определитель системы  (см.п.а.). Так как , то по теореме Крамера имеет единственное решение.

            Вычислим определители матриц  полученных из матрицы А, заменой соответственно первого, второго и третьего столбцов столбцом свободных членов:

.

Теперь по формулам Крамера 

Т.е. решение системы (4;2;1).

Метод Гаусса.

Метод Гаусса – метод последовательного исключения переменных – заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Пример. Решить систему уравнений 

Решение. Расширенная матрица системы имеет вид:

Шаг 1. Так как , то умножая вторую, третью и четвертую строки матрицы на числа (-2), (-3), (-2) и прибавляя полученные строки соответственно ко второй, третьей, четвертой строкам, исключим переменную х₁ из всех строк, начиная со второй. Заметив, что в новой матрице , поменяем местами первую и третью строки:

Шаг 2. Так как теперь , то умножая вторую строку на (-7/4) и прибавляя полученную строку к четвертой, исключим переменную х₂ из  всех строк, начиная с третьей:

Шаг 3. Учитывая, что , умножаем третью строку на 13,5/8=27/16, и прибавляя полученную строку к четвертой, исключим из нее переменную х₃. Получим систему уравнений

откуда, используя обратный ход метода Гаусса, найдем из четвертого уравнения х₄=-2; из третьего ; из второго  ; из первого уравнения , т.е. решение системы (1; 2; -1; 2).

Пример. Методом Гаусса решить систему уравнений:

Решение. Преобразуем расширенную матрицу системы

Итак, уравнение, соответствующее третьей строке последней матрицы, противоречиво – оно привелось к неверному равенству 0=-1, следовательно, данная система несовместна.

ПРИМЕР.  Для изготовления трех видов изделий Р₁, Р₂, Р₃.  Запасы  материалов и технологические нормы расхода материалов на каждое изделие приведены в таблице. Найти объем выпуска каждого вида изделия.

Вид изделия	Запас материала	Нормы расхода материала на одно изделие, кг
		Р1	Р2	Р3
S1	2700	5	3	4
S2	2700	6	3	3
S3	1600	3	2	2

Р е ш е н и е.

Обозначим через х₁, х₂, х₃ количество изделий соответственно вида Р₁, Р₂, Р₃ которое выпускает предприятие, используя весь запас материала. Тогда матрица неизвестных Х примет вид:

Матрица норм расхода сырья на единицу продукции А и матрица запаса сырья Q имеет вид:

  Искомую систему уравнений можно записать в матричном виде А*Х=Q или в виде системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

5х₁ + 3х₂ + 4х₃ = 2700

6х₁ + 3х₂ + 3х₃= 2700

3х₁ + 2х₂  + 2х₃ =1600

Решая систему любым способом, находим (50; 750; 50) т.е. предприятие выпускает 50 изделий вида Р₁, 750 изделий вида Р₂ и 50 изделий вида Р₃.

2. Пределы.

2.1 Задачи о начислении процентов.

            Рассмотрим понятие простое, сложное и непрерывное начисление процентов.

            Простые проценты:

            Если сумма начального вклада равна Q₀, то простые проценты за t лет составят Q₀ti (i – проценты выраженные десятичной дробью), а сумма выплат составит  Q_t=Q₀+Q₀ti=Q₀(1+ti)

            Сложные проценты:

            Сложная процентная ставка рассчитывается по принципу «плюс процент предыдущего года»

Q_t=Q₀(1+i)^t     ( i -  проценты выраженные десятичной дробью).

Когда начисления процентов в году n-раз, то при том же ежегодном приросте p%, процент начисления за  - ю часть года составит %, а размер вклада за t лет при nt начислениях составит

            Непрерывное начисление:

            Будем полагать, что проценты начисляются каждое полугодие (n=2), каждый квартал (n=4), каждый день (n=365), и т.д., непрерывно

 используя  второй замечательный предел     получаем

. Эта формула выражает показательный закон роста (p>0) или убывания (p<0), она может быть использована при непрерывном начислении процентов.

            Непрерывное начисление процентов применяется крайне редко, оно оказывается эффективным при анализе сложных финансовых проблем, в частности при обоснововании и выборе инвестиционных решений.

Пример. А) Первоначальный вклад 200$. Простая процентная ставка 10% годовых. Найти сумму вклада через 2 года.

Q_t=Q₀(1+i)^t

Q_t=200$ +200$*2*0,1=240$

Б) Первоначальный вклад 200$. Сложная процентная ставка 10%  годовых. Найти сумму вклада через 2 года.

Q_t=Q₀(1+i)^t

Q_t=200$(1+0,1)²=242$.

2.2 Нахождение пределов.

            Найти следующие пределы:

Пример.

Чтобы раскрыть непосредственность вида  числитель и знаменатель дроби делим на х², где  2-наивысшая степень многочленов. Далее применяем основные теоремы  о пределах и свойствах бесконечно малых величин.

Пример.

Числитель и знаменатель разложили на множители и сократили на (х-2)

Пример.

Пример.

Для освобождения от неопределенности вида  использовали первый замечательный предел:

 Применяя свойства пределов, имеем:

.

3. Дифференциальные уравнения.

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

Пример. Фирма «Бахыт» реализует свою продукцию по фиксированной цене Р. На момент времени t реализуется Q(t) штук продукции, тогда P*Q(t) – доход полученный на этот момент времени. Найти количество реализованной продукции, если в начальный момент времени t=t₀ зафиксирован объем выпуска Q₀.

Решение. Пусть часть этого дохода идет на производство проданной продукции, т.е. ,             (1)

Где m – const (0<m<1)- называется нормой инвестиции. Причем чем больше инвестиций вложено, тем больше скорость выпуска Q’.

Q’=I*S        (2), где I – норма акселерации.

            В формулу (2) подставим формулу (1) и получим   обозначим k=mIP   и получим  Q’=k*Q(t) – это дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными, решая ее получим  , (3)   где  С – произвольная постоянная.

            В начальный момент времени t=t₀ зафиксирован объем выпуска Q₀:

.

            Подставляя значение С в уравнение (3) получаем частное решение уравнения, т.е. решение задачи Коши  .

Пример.  Пусть  Q – величина фондов в стоимостном выражении. Скорость выбытия фондов выразим через коэффициент выбытия k (k=1/n, где n – количество лет за которые фонды полностью обновляются). Выбытие ведет к уменьшению фондов за год на величину kQ, а за тем время на величину  (если выбытие фондов происходит равномерно). Инвестиции ведут к увеличению фондов. Равномерное вложение денег за время  дадут увеличение фондов на величину nP, где Р – размер инвестиций за год ( часть инвестиций идет на зарплату и т.д., т.е. не на прямое увеличение фондов).

            Рассмотрим произвольный момент времени t  и его приращение  .

   при , получим дифференциальное уравнение dQ/dt=-kQ+nP, (p=const).

Пример. Проходя через лес и испытывая сопротивление деревьев, ветер теряет часть своей скорости. На бесконечно малом пути эта потеря пропорциональна своей скорости в начале этого пути и длине его. Найти скорость ветра, прошедшего в лесу 150 м, зная, что до вступления в лес начальная скорость ветра v₀=12 м/с; после прохождения в лесу пути S=1 м скорость ветра уменьшилась до величины v₁=11,8 м/с.

Решение.

            Пусть на расстоянии S от начала леса скорость ветра v, потеря скорости на пути dS = - dv  (процесс убывающий). Эта потеря пропорциональна v, и поэтому дифференциальное уравнение процесса представляется в виде равенства    -dv = kvdS    разделяя переменные, получим 

Интегрируя, получим общее решение задачи  .

Ищем частное решение, используя начальное условие задачи: при  S=0, v=v₀. Отсюда  или C=v₀

Закон процесса:

Для определения коэффициента пропорциональности используем дополнительное условие: при S=1 м, v=v₁=11,8 м/с. Откуда , или

e^-k=v₁/v₀=11,8/12=0,983.

Числовое значение подставляем в уравнение процесса, откуда искомая скорость v=12*0,983¹⁵⁰=12/0,0776=0,93 (м/с).

Итак, скорость ветра, углубившегося на 150 м в лес составит 0,93 м/с.

Пример.  Обозначим население страны в момент t через R(t). Предположим, что увеличение населения страны за время   пропорционально численности населения R и , тогда . При , получим дифференциальное уравнение  .

4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

            Уравнение вида y’+P(x)y=Q(x), где P(x) и Q(x) известные функции х, линейное (первой степени) относительно функции у и ее производной y’ называется линейным. Решаем уравнение посредством замены функции у произведением двух других вспомогательных функций: y=uv.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

Решение.

Полагаем y=uv, тогда y’=u’v+uv’  и данное уравнение примет вид:

u’v+uv’-uv ctg x=sin x или  u’v+u(v’-v ctg x)= sin x

выберем функцию v так, чтобы выражение в скобках было равно нулю

v’-v ctg x = 0    (1)

Тогда для отыскивания u получим уравнение u’v = sin x        (2)

Найдем частное решение уравнения (1), которое является уравнением с разделяющимися переменными 

Подставляем v в уравнение (2), получим: u’sin x=sin x.

Решим уравнение

Тогда y=uv=(x+C)sin x

Подставляя начальные значения    определяем значение С 

, тогда частное решение

5. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Экстремум функции нескольких переменных в экономике:

Пример: Уравнение денежного обращения (уравнение обмена Фишера) имеет вид: XY=FZ. Любая из переменных может рассматриваться как функция  трех остальных, где  X – общее  количество денег; Y- скорость обращения денег (сколько раз каждое тенге участвует в расчетах в среднем за год); F – уровень цен; Z – национальный продукт или национальный доход.

Пример. Выпуск продукции z в стоимостном или натуральном выражении является функцией затрат труда и объема производственных фондов: . Это функция Кобба-Дугласа.

Х – затраты труда, у – объем производственных фондов; -неотрицательные константы, . Т.к. экономические показатели зависят от многих факторов, то в экономике приходится рассматривать задачи на экстремум функций нескольких переменных.

Пример. Пусть дана функция двух переменных, записанная в квадратичной форме: .Найти ее экстремум.

Необходимое условие экстремума:

Точки, при которых частные производные равны нулю называются стационарными.

Достаточное условие экстремума:

   т.к.  то

Для условия максимума необходимо, чтобы  т.е 2a<0; при a<0 имеем минимум.

Если , то экстремума нет.

Пример. Акционерное общество выпускает два вида акций: обыкновенные и привилегированные в количествах х₁ и х₂. Эти акции имеют рыночную цену .Функция затрат имеет вид С=8х₁+х₂.Рассчитать максимальную прибыль акционерного общества.

Решение:

Доход от реализации данных акций имеет вид: . Функция прибыли выражается формулой:  , где

Р₁=148-7х_1;       Р₂=171-5х₂ – рыночные цены акций.

1) Находим частные производные и определим стационарные точки, в которых

 функция может достигать экстремума.

Решение системы:   дает х₁=10,  х₂=17

Р(10;17) – стационарная точка.

2) Определим вторые частные производные

3) Вычисляем значения вторых частных производных в каждой стационарной точке, а полученные значения обозначаем через А,В,С.

В данном случае производные второго порядка постоянны.

Имеем: А= -14,  В=0,   С= -10

4) Найдем определитель  т.к , то в стационарной точке Р(10;17) функция имеет максимум.

Максимальная прибыль П=822 (тенге).

ЛИТЕРАТУРА

1.КремерН.Ш. «Высшая математика для экономистов», М, «ЮНИТИ», 2000.

2. Малышев В.И. Математика в экономике. Учебное пособие. – М,1999.

3. Рыщанова С.М. Высшая математика в экономике. Сборник типовых задач. Костанай, 2000.

4.Айдекс Р. Дифференциальные игры. М, издательство «МИР»,1967.

5. Виленкин Н.Я. Алгебра и математический анализ. 10класс, М, «Просвещение»,1992.

6. Сканави М.И. Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во втузы.М, «Высшая школа»,1980.

7. Нестеренко Ю.В. Задачи вступительных экзаменов по математике на экономические факультеты. М, «Наука», 1983.

8. Данко П.Е. и Попов А.Г. «Высшая математика в упражнениях и задачах»,  М, «Высшая школа», 1986.